Kosmoloogia - 5. osa: Universum

[ Peatüki indeks | Õpiku tekst | Illustratsioonid | Viited | Kordamisküsimused ]

4. peatükk: Kosmoloogilised mudelid

Milne'i mudel

JAAK JAANISTE

Olgu meil paisuv kera. Selle kera suvalise punkti asukoha saame anda kohavektori vektor r abil. Kui see kera paisub ühtlaselt, võime kohavektori (ja koos temaga suvalise vektori selles keras) kirja panna kujul

vektor r = R(t) * vektor r_0, (1)
kus R(t) on suvaline ajast sõltuv funktsioon, vektor r_0 aga meid huvitava punkti kohavektor hetkel t0, mida loeme vaatlushetkeks. Tasub meeles pidada, et R(t0) = 1, vt. valem (1).

Ainetiheduse roo(t) leiame valemist

roo(t) = roo(t_0) * r^3(t_0) / r^3(t) = roo(t_0) * r^3(t_0) / (R^3(t) * r^3(t_0)) = roo(t_0) / R^3(t). (2)

Leiame nüüd mingi galaktika liikumisvõrrandi. Newtoni II seaduse järgi on tema kiirendus a = F / m, temale mõjuva jõu leiame gravitatsiooniseadusest:

F = -G * m * M / r^2 = -G * (m * (4 / 3) * pii * roo(t) * r^3(t)) / r^2(t) = -G * m * (4 / 3) * pii * roo(t) * r(t).
roo(t) asendame valemist (2):
F = -(4 / 3) * G * pii * m * ( roo(t_0) / (R^3(t) ) * R(t) * r_0. (3)
Viimast saab taandada R(t)-ga; F asendame Newtoni II seadusest
F = a * m = m * r'' = m * r_0 * R''(t) (4)
ja korrutame mõlemaid pooli R2-ga. Kui nüüd jagada mõlemat poolt korrutisega m * r_0, saame diferentsiaalvõrrandi, millest on kadunud nii proovikeha kohavektor kui tema mass:
R^2 * R'' = -(4 / 3) * pii * G * roo_0. (5)
Ja ongi meie nipitamine läbi -- meil on võrrand, mis kirjeldab paisumisteguri -- mastaabikordaja sõltuvust ajast, kusjuures võrrandi ainsad parameetrid on keskmine ainetihedus ning gravitatsioonikonstant. Kui meil õnnestub see võrrand lahendada -- ja miks ta ei peaks õnnestuma -- ongi käes valem Universumi paisumise kohta. Teades mastaabikordaja sõltuvust ajast, saame kergesti leida suvalise kauguse ajalise muutumise, kasvõi lõpmatuseni välja.

Võrrand, mis meil ees, on Newtoni dünaamika tüüpvõrrand. Aga ta on teist järku diferentsiaalvõrrand, ja seda me lahendada ei oska. Tuleb veel nipitada. Alustame sellest, et kirjutame tuletised ümber Leibnitzi sümboolikasse:

R'' = d^2/dt^2 (R) = d/dt (d/dt (R)) = dv/dt. (6)
Siin v on muidugi kiirus, aga sellega me veel ei lõpeta. Korrutame ja jagame saadud avaldist dR-ga:
dv/dr = dv * dR / (dt * dR) = (dR/dt) * (dv/dR) = v * (dv/dR). (7)

Nagu näeme, on nüüd võrrandist kadunud ka aeg. v(t) on kiirus ainult näiliselt, tegelikult on see mastaabikordaja tuletis aja järgi, mis näitab paisumiskiirust, st. paisuva ruumi objektide (galaktikate) suhtelist kaugenemist ajaühiku kohta. See ei ole Hubble'i konstant, mis on ka paisumiskiirus, aga pikkusühiku kohta, ehk teiste sõnadega paisumiskiiruse ja mastaabikordaja suhe H = v / R.

Võttes kokku võrrandid (5), (6) ja (7), saame lihtsa diferentsiaalvõrrandi:

R^2 * v * (dv/dR) = -(4/3) * pii * G * roo_0. (8)
Eraldame muutujad:
v * dv = -(4/3) * pii * G * roo_0 * (dR / R^2) (9)
ning integreerime:
v^2 = (R')^2 = (4/3) * pii * G * roo_0 * (1 / R) + k. (10)
Saimegi kätte valemi, mis kirjeldab "kogu maailma" arengut. Kasutatud matemaatilise võtte sisu seisneski selles, et viia kauguste muutumise valem üle suhtelise pikenemise valemiks. Nüüd võivad kaugused olla ükskõik millised, meie valem kehtib nende kõigi kohta. Seega kogu Universumi kohta.

Kaval mõte, kas pole?

[ Peatüki indeks | Õpiku tekst | Illustratsioonid | Viited | Kordamisküsimused ]

Õpiku tegijad / opik@obs.ee
© Tartu Tähetorni Astronoomiaring 1997-98

14. märts 1998

 [Avatud Eesti Fond]

Selle õpiku valmimist on toetanud Avatud Eesti Fond.